中国古代数学发展史

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中国数学发展史

中国古代是一个在世界上数学领先的国家，用近代科目来分类的话，可以看出无论在算术、代数、几何和三角各方而都十分发达。现在就让我们来简单回顾一下初等数学在中国发展的历史。

(一)属于算术方面的材料

大约在3000年以前中国已经知道自然数的四则运算，这些运算只是一些结果，被保存在古代的文字和典籍中。乘除的运算规则在后来的“孙子算经”(公元三世纪)内有了详细的记载。中国古代是用筹来计数的，在我们古代人民的计数中，己利用了和我们现在相同的位率，用筹记数的方法是以纵的筹表示单位数、百位数、万位数等；用横的筹表示十位数、千位数等，在运算过程中也很明显的表现出来。“孙子算经”用十六字来表明它，“一从十横，百立千僵，千十相望，万百相当。”

和其他古代国家一样，乘法表的产生在中国也很早。乘法表中国古代叫九九，估计在2500年以前中国已有这个表，在那个时候人们便以九九来代表数学。现在我们还能看到汉代遗留下来的木简(公元前一世纪)上面写有九九的乘法口诀。

现有的史料指出，中国古代数学书“九章算术”(约公元一世纪前后)的分数运算法则是世界上最早的文献，“九章算术”的分数四则运算和现在我们所用的几乎完全一样。

古代学习算术也从量的衡量开始认识分数，“孙子算经”(公元三世纪)和“夏候阳算经”(公元六、七世纪)在论分数之前都开始讲度量衡，“夏侯阳算经”卷上在叙述度量衡后又记着：“十乘加一等，百乘加二等，千乘加三等，万乘加四等；十除退一等，百除退二等，千除退三等，万除退四等。”这种以十的方幂来表示位率无疑地也是中国最早发现的。

小数的记法，元朝(公元十三世纪)是用低一格来表示，如13.56作1356 。在算术中还应该提出由公元三世纪“孙子算经”的物不知数题发展到宋朝秦九韶(公元1247年)的大衍求一术，这就是中国剩余定理，相同的方法欧洲在十九世纪才进行研究。

宋朝杨辉所著的书中(公元1274年)有一个1—300以内的因数表，例如297用“三因加一损一”来代表，就是说297=3×11×9，(11＝10十1叫加一，9＝10—1叫损一)。杨辉还用“连身加”这名词来说明201—300以内的质数。

(二)属于代数方面的材料

从“九章算术”卷八说明方程以后，在数值代数的领域内中国一直保持了光辉的成就。

“九章算术”方程章首先解释正负术是确切不移的，正象我们现在学习初等代数时从正负数的四则运算学起一样，负数的出现便丰富了数的内容。

我们古代的方程在公元前一世纪的时候已有多元方程组、一元二次方程及不定方程几种。一元二次方程是借用几何图形而得到证明。 不定方程的出现在二千多年前的中国是一个值得重视的课题，这比我们现在所熟知的希腊丢番图方程要早三百多年。具有x3+px2+qx=A和x3+px2=A形式的三次方程，中国在公元七世纪的唐代王孝通“缉古算经”已有记载，用“从开立方除之”而求出数字解答(可惜原解法失传了)，不难想象王孝通得到这种解法时的愉快程度，他说谁能改动他著作内的一个字可酬以千金。

十一世纪的贾宪已发明了和霍纳(1786—1837)方法相同的数字方程解法，我们也不能忘记十三世纪中国数学家秦九韶在这方面的伟大贡献。

在世界数学史上对方程的原始记载有着不同的形式，但比较起来不得不推中国天元术的简洁明了。四元术是天元术发展的必然产物。

级数是古老的东西，二千多年前的“周髀算经”和“九章算术”都谈到算术级数和几何级数。十四世纪初中国元代朱世杰的级数计算应给予很高的评价，他的有些工作欧洲在十八、九世纪的著作内才有记录。十一世纪时代，中国已有完备的二项式系数表，并且还有这表的编制方法。

历史文献揭示出在计算中有名的盈不足术是由中国传往欧洲的。

内插法的计算，中国可上溯到六世纪的刘焯，并且七世纪末的僧一行有不等间距的内插法计算。

十四世纪以前，属于代数方面许多问题的研究，中国是先进国家之一。

就是到十八，九世纪由李锐(1773—1817)，汪莱(1768—1813)到李善兰(1811—1882)，他们在这一方面的研究上也都发表了很多的名著。

(三)属于几何方面的材料

自明朝后期(十六世纪)欧几里得“几何原本”中文译本一部分出版之前，中国的几何早已在独立发展着。应该重视古代的许多工艺品以及建筑工程、水利工程上的成就，其中蕴藏了丰富的几何知识。

中国的几何有悠久的历史，可靠的记录从公元前十五世纪谈起，甲骨文内己有规和矩二个字，规是用来画圆的，矩是用来画方的。

汉代石刻中矩的形状类似现在的直角三角形，大约在公元前二世纪左右，中国已记载了有名的勾股定理(勾股二个字的起源比较迟)。

圆和方的研究在古代中国几何发展中占了重要位置。墨子对圆的定义是：“圆，一中同长也。”—个中心到圆周相等的叫圆，这解释要比欧几里得还早一百多年。

在圆周率的计算上有刘歆(？一23)、张衡(78—139)、刘徽(263)、王蕃(219—257)、祖冲之(429—500)、赵友钦(公元十三世纪)等人，其中刘徽、祖冲之、赵友钦的方法和所得的结果举世闻名。

祖冲之所得的结果π=355/133要比欧洲早一千多年。

在刘徽的“九章算术”注中曾多次显露出他对极限概念的天才。 在平面几何中用直角三角形或正方形和在立体几何中用锥体和长方柱体进行移补，这构成中国古代几何的特点。

中国数学家善于把代数上的成就运用到几何上，而又用几何图形来证明代数，数值代数和直观几何有机的配合起来，在实践中获得良好的效果．

正好说明十八、九世纪中国数学家对割圆连比例的研究和项名达(1789—1850)用割圆连比例求出椭圆周长。这都是继承古代方法加以发挥而得到的(当然吸收外来数学的精华也是必要的)。

(四)属于三角方面的材料

三角学的发生由于测量，首先是天文学的发展而产生了球面三角，中国古代天文学很发达，因为要决定恒星的位置很早就有了球面测量的知识；平面测量术在“周牌算经”内已记载若用矩来测量高深远近。

刘徽的割圆术以半径为单位长求圆内正六边形，十二二边形等的每一边长，这答数是和2sinA的值相符(A是圆心角的一半)，以后公元十二世纪赵友钦用圆内正四边形起算也同此理，我们可以从刘徽、赵友钦的计算中得出7.5o、15o、22.5o、30o、45o等的正弦函数值。

在古代历法中有计算二十四个节气的日晷影长，地面上直立一个八尺长的“表”，太阳光对这“表”在地面上的射影由于地球公转而每一个节气的影长都不同，这些影长和“八尺之表”的比，构成一个余切函数表(不过当时还没有这个名称)。

十三世纪的中国天文学家郭守敬(1231—1316)曾发现了球面三角上的三个公式。 现在我们所用三角函数名词：正弦，余弦，正切，余切，正割，余割，这都是我国十六世纪已有的名称，那时再加正矢和余矢二个函数叫做八线。

在十七世纪后期中国数学家梅文鼎(1633—1721)已编了一本平面三角和一本球面三角的书，平面三角的书名叫“平三角举要”，包含下列内容：(1)三角函数的定义；(2)解直角三角形和斜三角形；(3)三角形求积，三角形内容圆和容方；(4)测量。这已经和现代平面三角的内容相差不远，梅文鼎还著书讲到三角上有名的积化和差公式。十八世纪以后，中国还出版了不少三角学方面的书籍。

课题：数学的发展历史

数学是中国古代科学中一门重要的学科，根据中国古代数学发展的特点，可以分为五个时期：萌芽；体系的形成；发展；繁荣和中西方数学的融合。

一、中国古代数学的萌芽原始公社末期，私有制和货物交换产生以后，数与形的概念有了进一步的发展，仰韶文化时期出土的陶器，上面已刻有表示1234的符号。到原始公社末期，已开始用文字符号取代结绳记事了。

西安半坡出土的陶器有用1～8个圆点组成的等边三角形和分正方形为100个小正方形的图案，半坡遗址的房屋基址都是圆形和方形。为了画圆作方，确定平直，人们还创造了规、矩、准、绳等作图与测量工具。据《史记·夏本纪》记载，夏禹治水时已使用了这些工具。

商代中期，在甲骨文中已产生一套十进制数字和记数法，其中最大的数字为三万；与此同时，殷人用十个天干和十二个地支组成甲子、乙丑、丙寅、丁卯等60个名称来记60天的日期；在周代，又把以前用阴、阳符号构成的八卦表示八种事物发展为六十四卦，表示64种事物。

公元前一世纪的《周髀算经》提到西周初期用矩测量高、深、广、远的方法，并举出勾股形的勾三、股四、弦五以及环矩可以为圆等例子。《礼记·内则》篇提到西周贵族子弟从九岁开始便要学习数目和记数方法，他们要受礼、乐、射、驭、书、数的训练，作为“六艺”之一的数已经开始成为专门的课程。

春秋战国之际，筹算已得到普遍的应用，筹算记数法已使用十进位值制，这种记数法对世界数学的发展是有划时代意义的。这个时期的测量数学在生产上有了广泛应用，在数学上亦有相应的提高。

战国时期的百家争鸣也促进了数学的发展，尤其是对于正名和一些命题的争论直接与数学有关。名家认为经过抽象以后的名词概念与它们原来的实体不同，他们提出“矩不方，规不可以为圆”，把“大一”(无穷大)定义为“至大无外”，“小一”(无穷小)定义为“至小无内”。还提出了“一尺之棰，日取其半，万世不竭”等命题。

而墨家则认为名来源于物，名可以从不同方面和不同深度反映物。墨家给出一些数学定义。例如圆、方、平、直、次(相切)、端(点)等等。

墨家不同意“一尺之棰”的命题，提出一个“非半”的命题来进行反驳：将一线段按一半一半地无限分割下去，就必将出现一个不能再分割的“非半”，这个“非半”就是点。

名家的命题论述了有限长度可分割成一个无穷序列，墨家的命题则指出了这种无限分割的变化和结果。名家和墨家的数学定义和数学命题的讨论，对中国古代数学理论的发展是很有意义的。

二、中国古代数学体系的形成

秦汉是封建社会的上升时期，经济和文化均得到迅速发展。中国古代数学体系正是形成于这个时期，它的主要标志是算术已成为一个专门的学科，以及以《九章算术》为代表的数学著作的出现。

《九章算术》是战国、秦、汉封建社会创立并巩固时期数学发展的总结，就其数学成就来说，堪称是世界数学名著。例如分数四则运算、今有术(西方称三率法)、开平方与开立方(包括二次方程数值解法)、盈不足术(西方称双设法)、各种面积和体积公式、线性方程组解法、正负数运算的加减法则、勾股形解法(特别是勾股定理和求勾股数的方法)等，水平都是很高的。其中方程组解法和正负数加减法则在世界数学发展上是遥遥领先的。就其特点来说，它形成了一个以筹算为中心、与古希腊数学完全不同的独立体系。

《九章算术》有几个显著的特点：采用按类分章的数学问题集的形式；算式都是从筹算记数法发展起来的；以算术、代数为主，很少涉及图形性质；重视应用，缺乏理论阐述等。

秦汉时期强调数学的应用性。成书于东汉初年的《九章算术》，排除了战国时期在百家争鸣中出现的名家和墨家重视名词定义与逻辑的讨论，偏重于与当时生产、生活密切相结合的数学问题及其解法。

《九章算术》在隋唐时期曾传到朝鲜、日本，并成为这些国家当时的数学教科书。它的一些成就如十进位值制、今有术、盈不足术等还传到印度和阿拉伯，并通过印度、阿拉伯传到欧洲，促进了世界数学的发展。

三、中国古代数学的发展

魏、晋时期出现的玄学，不为汉儒经学束缚，思想比较活跃；它诘辩求胜，又能运用逻辑思维，分析义理，这些都有利于数学从理论上加以提高。吴国赵爽注《周髀算经》，汉末魏初徐岳撰《九章算术》注，魏末晋初刘徽撰《九章算术》注、《九章重差图》都是出现在这个时期。赵爽与刘徽的工作为中国古代数学体系奠定了理论基础。

赵爽是中国古代对数学定理和公式进行证明与推导的最早的数学家之一。他在《周髀算经》书中补充的“勾股圆方图及注”和“日高图及注”是十分重要的数学文献。在“勾股圆方图及注”中他提出用弦图证明勾股定理和解勾股形的五个公式；在“日高图及注”中，他用图形面积证明汉代普遍应用的重差公式，赵爽的工作是带有开创性的，在中国古代数学发展中占有重要地位。

刘徽约与赵爽同时，他继承和发展了战国时期名家和墨家的思想，主张对一些数学名词特别是重要的数学概念给以严格的定义，认为对数学知识必须进行“析理”，才能使数学著作简明严密，利于读者。他的《九章算术》注不仅是对《九章算术》的方法、公式和定理进行一般的解释和推导，而且在论述的过程中有很大的发展。刘徽创造割圆术，利用极限的思想证明圆的面积公式，并首次用理论的方法算得圆周率为 157/50和 3927/1250。

刘徽用无穷分割的方法证明了直角方锥与直角四面体的体积比恒为2:1，解决了一般立体体积的关键问题。在证明方锥、圆柱、圆锥、圆台的体积时，刘徽为彻底解决球的体积提出了正确途径。

东晋以后，中国长期处于战争和南北分裂的状态。祖冲之父子的工作就是经济文化南移以后，南方数学发展的具有代表性的工作，他们在刘徽注《九章算术》的基础上，把传统数学大大向前推进了一步。他们的数学工作主要有：计算出圆周率在3.1415926～3.1415927之间；提出祖暅原理；提出二次与三次方程的解法等。

据推测，祖冲之在刘徽割圆术的基础上，算出圆内接正6144边形和正12288边形的面积，从而得到了这个结果。他又用新的方法得到圆周率两个分数值，即约率22/7和密率355/113。祖冲之这一工作，使中国在圆周率计算方面，比西方领先约一千年之久；

祖冲之之子祖暅总结了刘徽的有关工作，提出“幂势既同则积不容异”，即等高的两立体，若其任意高处的水平截面积相等，则这两立体体积相等，这就是著名的祖暅公理。祖暅应用这个公理，解决了刘徽尚未解决的球体积公式。

隋炀帝大兴土木，客观上促进了数学的发展。唐初王孝通的《缉古算经》，主要讨论土木工程中计算土方、工程分工、验收以及仓库和地窖的计算问题，反映了这个时期数学的情况。王孝通在不用数学符号的情况下，立出数字三次方程，不仅解决了当时社会的需要，也为后来天元术的建立打下基础。此外，对传统的勾股形解法，王孝通也是用数字三次方程解决的。

唐初统治者继承隋制，656年在国子监设立算学馆，设有算学博士和助教，学生30人。由太史令李淳风等编纂注释《算经十书》，作为算学馆学生用的课本，明算科考试亦以这些算书为准。李淳风等编纂的《算经十书》，对保存数学经典著作、为数学研究提供文献资料方面是很有意义的。他们给《周髀算经》、《九章算术》以及《海岛算经》所作的注解，对读者是有帮助的。隋唐时期，由于历法的需要，天算学家创立了二次函数的内插法，丰富了中国古代数学的内容。

算筹是中国古代的主要计算工具，它具有简单、形象、具体等优点，但也存在布筹占用面积大，运筹速度加快时容易摆弄不正而造成错误等缺点，因此很早就开始进行改革。其中太乙算、两仪算、三才算和珠算都是用珠的槽算盘，在技术上是重要的改革。尤其是“珠算”，它继承了筹算五升十进与位值制的优点，又克服了筹算纵横记数与置筹不便的缺点，优越性十分明显。但由于当时乘除算法仍然不能在一个横列中进行。算珠还没有穿档，携带不方便，因此仍没有普遍应用。

唐中期以后，商业繁荣，数字计算增多，迫切要求改革计算方法，从《新唐书》等文献留下来的算书书目，可以看出这次算法改革主要是简化乘、除算法，唐代的算法改革使乘除法可以在一个横列中进行运算，它既适用于筹算，也适用于珠算。

四、中国古代数学的繁荣

960年，北宋的建立结束了五代十国割据的局面。北宋的农业、手工业、商业空前繁荣，科学技术突飞猛进，火药、指南针、印刷术三大发明就是在这种经济高涨的情况下得到广泛应用。1084年秘书省第一次印刷出版了《算经十书》，1213年鲍擀之又进行翻刻。这些都为数学发展创造了良好的条件。

从11～14世纪约300年期间，出现了一批著名的数学家和数学著作，如贾宪的《黄帝九章算法细草》，刘益的《议古根源》，秦九韶的《数书九章》，李冶的《测圆海镜》和《益古演段》，杨辉的《详解九章算法》《日用算法》和《杨辉算法》，朱世杰的《算学启蒙》《四元玉鉴》等，很多领域都达到古代数学的高峰，其中一些成就也是当时世界数学的高峰。

从开平方、开立方到四次以上的开方，在认识上是一个飞跃，实现这个飞跃的就是贾宪。杨辉在《九章算法纂类》中载有贾宪“增乘开平方法”、“增乘开立方法”；在《详解九章算法》中载有贾宪的“开方作法本源”图、“增乘方法求廉草”和用增乘开方法开四次方的例子。根据这些记录可以确定贾宪已发现二项系数表，创造了增乘开方法。这两项成就对整个宋元数学发生重大的影响，其中贾宪三角比西方的帕斯卡三角形早提出600多年。

把增乘开方法推广到数字高次方程(包括系数为负的情形)解法的是刘益。《杨辉算法》中“田亩比类乘除捷法”卷，介绍了原书中22个二次方程和 1个四次方程，后者是用增乘开方法解三次以上的高次方程的最早例子。

秦九韶是高次方程解法的集大成者，他在《数书九章》中收集了21个用增乘开方法解高次方程(最高次数为10)的问题。为了适应增乘开方法的计算程序，奏九韶把常数项规定为负数，把高次方程解法分成各种类型。当方程的根为非整数时，秦九韶采取继续求根的小数，或用减根变换方程各次幂的系数之和为分母，常数为分子来表示根的非整数部分，这是《九章算术》和刘徽注处理无理数方法的发展。在求根的第二位数时，秦九韶还提出以一次项系数除常数项为根的第二位数的试除法，这比西方最早的霍纳方法早500多年。

元代天文学家王恂、郭守敬等在《授时历》中解决了三次函数的内插值问题。秦九韶在“缀术推星”题、朱世杰在《四元玉鉴》“如象招数”题都提到内插法(他们称为招差术)，朱世杰得到一个四次函数的内插公式。

用天元(相当于x)作为未知数符号，立出高次方程，古代称为天元术，这是中国数学史上首次引入符号，并用符号运算来解决建立高次方程的问题。现存最早的天元术著作是李冶的《测圆海镜》。

从天元术推广到二元、三元和四元的高次联立方程组，是宋元数学家的又一项杰出的创造。留传至今，并对这一杰出创造进行系统论述的是朱世杰的《四元玉鉴》。

朱世杰的四元高次联立方程组表示法是在天元术的基础上发展起来的，他把常数放在中央，四元的各次幂放在上、下、左、右四个方向上，其他各项放在四个象限中。朱世杰的最大贡献是提出四元消元法，其方法是先择一元为未知数，其他元组成的多项式作为这未知数的系数，列成若干个一元高次方程式，然后应用互乘相消法逐步消去这一未知数。重复这一步骤便可消去其他未知数，最后用增乘开方法求解。这是线性方法组解法的重大发展，比西方同类方法早400多年。

勾股形解法在宋元时期有新的发展，朱世杰在《算学启蒙》卷下提出已知勾弦和、股弦和求解勾股形的方法，补充了《九章算术》的不足。李冶在《测圆海镜》对勾股容圆问题进行了详细的研究，得到九个容圆公式，大大丰富了中国古代几何学的内容。

已知黄道与赤道的夹角和太阳从冬至点向春分点运行的黄经余弧，求赤经余弧和赤纬度数，是一个解球面直角三角形的问题，传统历法都是用内插法进行计算。元代王恂、郭守敬等则用传统的勾股形解法、沈括用会圆术和天元术解决了这个问题。不过他们得到的是一个近似公式，结果不够精确。但他们的整个推算步骤是正确无误的，从数学意义上讲，这个方法开辟了通往球面三角法的途径。

中国古代计算技术改革的高潮也是出现在宋元时期。宋元明的历史文献中载有大量这个时期的实用算术书目，其数量远比唐代为多，改革的主要内容仍是乘除法。与算法改革的同时，穿珠算盘在北宋可能已出现。但如果把现代珠算看成是既有穿珠算盘，又有一套完善的算法和口诀，那么应该说它最后完成于元代。

宋元数学家都在不同程度上反对理学家的象数神秘主义。秦九韶虽曾主张数学与道学同出一源，但他后来认识到，“通神明”的数学是不存在的，只有“经世务类万物”的数学；莫若在《四元玉鉴》序文中提出的“用假象真，以虚问实”则代表了高度抽象思维的思想方法；杨辉对纵横图结构进行研究，揭示出洛书的本质，有力地批判了象数神秘主义。所有这些，无疑是促进数学发展的重要因素。

中西方数学的融合

中国从明代开始进入了封建社会的晚期，16世纪末以后，西方初等数学陆续传入中国，使中国数学研究出现一个中西融合贯通的局面；鸦片战争以后，近代数学开始传入中国，中国数学便转入一个以学习西方数学为主的时期；到19世纪末20世纪初，近代数学研究才真正开始。

从明初到明中叶，商品经济有所发展，和这种商业发展相适应的是珠算的普及。明初《魁本对相四言杂字》和《鲁班木经》的出现，说明珠算已十分流行。前者是儿童看图识字的课本，后者把算盘作为家庭必需用品列入一般的木器家具手册中。

随着珠算的普及，珠算算法和口诀也逐渐趋于完善。例如王文素和程大位增加并改善撞归、起一口诀；徐心鲁和程大位增添加、减口诀并在除法中广泛应用归除，从而实现了珠算四则运算的全部口诀化；朱载墒和程大位把筹算开平方和开立方的方法应用到珠算，程大位用珠算解数字二次、三次方程等等。程大位的著作在国内外流传很广，影响很大。

1582年，意大利传教士利玛窦到中国，1607年以后，他先后与徐光启翻译了《几何原本》前六卷、《测量法义》一卷，与李之藻编译《圜容较义》和《同文算指》。1629年，徐光启被礼部任命督修历法，在他主持下，编译《崇祯历书》137卷。《崇祯历书》主要是介绍欧洲天文学家第谷的地心学说。作为这一学说的数学基础，希腊的几何学，欧洲玉山若干的三角学，以及纳皮尔算筹、伽利略比例规等计算工具也同时介绍进来。

在传入的数学中，影响最大的是《几何原本》。《几何原本》是中国第一部数学翻译著作，绝大部分数学名词都是首创，其中许多至今仍在沿用。徐光启认为对它“不必疑”、“不必改”，“举世无一人不当学”。满清侵入中原之后，科学再度被打入了“冷宫”。不但书的后半部分迟迟不能翻译，就连徐光启已经译出的上半部分也不再发行。西方传教士带来的科技著作，成为康熙、雍正或乾隆皇帝独享的业余爱好。

其次应用最广的是三角学，介绍西方三角学的著作有《大测》《割圆八线表》和《测量全义》。《大测》主要说明三角八线(正弦、余弦、正切、余切、正割、余割、正矢、余矢)的性质，造表方法和用表方法。《测量全义》除增加一些《大测》所缺的平面三角外，比较重要的是积化和差公式和球面三角。所有这些，在当时历法工作中都是随译随用的。

1646年，波兰传教士穆尼阁来华，跟随他学习西方科学的有薛凤柞、方中通等。穆尼阁去世后，薛凤柞据其所学，编成《历学会通》，想把中法西法融会贯通起来。《历学会通》中的数学内容主要有比例对数表》《比例四线新表》和《三角算法》。前两书是介绍英国数学家纳皮尔和布里格斯发明增修的对数。后一书除《崇祯历书》介绍的球面三角外，尚有半角公式、半弧公式、德氏比例式、纳氏比例式等。方中通所著《数度衍》对对数理论进行解释。对数的传入是十分重要，它在历法计算中立即就得到应用。

清初学者研究中西数学有心得而著书传世的很多，影响较大的有王锡阐《图解》、梅文鼎《梅氏丛书辑要》(其中数学著作13种共40卷)、年希尧《视学》等。梅文鼎是集中西数学之大成者。他对传统数学中的线性方程组解法、勾股形解法和高次幂求正根方法等方面进行整理和研究，年希尧的《视学》是中国第一部介绍西方透视学的著作。

清康熙重视西方科学，但只是作为自己的爱好。1712年康熙命梅彀成任蒙养斋汇编官，会同陈厚耀、何国宗、明安图、杨道声等编纂天文算法书。1721年完成《律历渊源》100卷，以康熙“御定”的名义于1723年出版。其中《数理精蕴》主要由梅彀成负责，分上下两编，上编包括《几何原本》、《算法原本》，均译自法文著作；下编包括算术、代数、平面几何平面三角、立体几何等初等数学，附有素数表、对数表和三角函数表。由于它是一部比较全面的初等数学百科全书，并有康熙“御定”的名义，因此对当时数学研究有一定影响。

清代数学家对西方数学做了大量的会通工作，并取得许多独创性的成果。这些成果，如和传统数学比较，是有进步的，但和同时代的西方比较则明显落后了。

雍正即位以后，对外闭关自守，导致西方科学停止输入中国，对内实行高压政策，致使一般学者既不能接触西方数学，又不敢过问经世致用之学，因而埋头于究治古籍。乾嘉年间逐渐形成一个以考据学为主的乾嘉学派。

随着《算经十书》与宋元数学著作的收集与注释，出现了一个研究传统数学的高潮。其中能突破旧有框框并有发明创造的有焦循、汪莱、李锐、李善兰等。他们的工作，和宋元时代的代数学比较是有进步的；和西方代数学比较，在时间上晚了一些，但这些成果是在没有受到西方近代数学的影响下独立得到的。

与传统数学研究出现高潮的同时，阮元与李锐等编写了一部天文数学家传记—《畴人传》，收集了从黄帝时期到嘉庆四年已故的天文学家和数学家270余人(其中有数学著作传世的不足50人)，和明末以来介绍西方天文数学的传教士41人。这部著作全由“掇拾史书，荃萃群籍，甄而录之”而成，收集的完全是第一手的原始资料，在学术界颇有影响。

1840年鸦片战争以后，西方近代数学开始传入中国。首先是英人在上海设立墨海书馆，介绍西方数学。第二次鸦片战争后，曾国藩、李鸿章等官僚集团开展“洋务运动”，也主张介绍和学习西方数学，组织翻译了一批近代数学著作。

其中较重要的有李善兰与伟烈亚力翻译的《代数学》《代微积拾级》；华蘅芳与英人傅兰雅合译的《代数术》《微积溯源》《决疑数学》；邹立文与狄考文编译的《形学备旨》《代数备旨》《笔算数学》；谢洪赉与潘慎文合译的《代形合参》《八线备旨》等等。

《代微积拾级》是中国第一部微积分学译本；《代数学》是英国数学家德·摩根所著的符号代数学译本；《决疑数学》是第一部概率论译本。在这些译著中，创造了许多数学名词和术语，至今还在应用，但所用数学符号一般已被淘汰了。戊戌变法以后，各地兴办新法学校，上述一些著作便成为主要教科书。

在翻译西方数学著作的同时，中国学者也进行一些研究，写出一些著作，较重要的有李善兰的《尖锥变法解》《考数根法》；夏弯翔的《洞方术图解》《致曲术》《致曲图解》等等，都是会通中西学术思想的研究成果。

由于输入的近代数学需要一个消化吸收的过程，加上清末统治者十分腐败，在太平天国运动的冲击下，在列强的掠夺下，焦头烂额，无暇顾及数学研究。直到1919年五四运动以后，中国近代数学的研究才真正开始。

算筹是中国古代的计算工具，真正意义上的中国古代数学体系形成于自西汉至南北朝的三、四百年期间。

《算数书》成书于西汉初年，是传世的中国最早的数学专著，它是1984年由考古学家在湖北江陵张家山出土的汉代竹简中发现的。

《周髀算经》编纂于西汉末年，它虽然是一本关于“盖天说”的天文学著作，但是包括两项数学成就——（1）勾股定理的特例或普遍形式（“若求邪至日者，以日下为句，日高为股，句股各自乘，并而开方除之，得邪至日。”——这是中国最早关于勾股定理的书面记载）；（2）测太阳高或远的“陈子测日法”。

《九章算术》在中国古代数学发展过程中占有非常重要的地位。

它经过许多人整理而成，大约成书于东汉时期。

全书共收集了246个数学问题并且提供其解法，主要内容包括分数四则和比例算法、各种面积和体积的计算、关于勾股测量的计算等。

在代数方面，《九章算术》在世界数学史上最早提出负数概念及正负数加减法法则；现在中学讲授的线性方程组的解法和《九章算术》介绍的方法大体相同。

注重实际应用是《九章算术》的一个显著特点。

该书的一些知识还传播至印度和 *** ，甚至经过这些地区远至欧洲。

九章算术》标志以筹算为基础的中国古代数学体系的正式形成。

中国古代数学在三国及两晋时期侧重于理论研究，其中以赵爽与刘徽为主要代表人物。

赵爽学术成就体现于对《周髀算经》的阐释。

在《勾股圆方图注》中，他还用几何方法证明了勾股定理，其实这已经体现“割补原理”的方法。

用几何方法求解二次方程也是赵爽对中国古代数学的一大贡献。

三国时期魏人刘徽则注释了《九章算术》，其著作《九章算术注》不仅对《九章算术》的方法、公式和定理进行一般的解释和推导，而且系统地阐述了中国传统数学的理论体系与数学原理，并且多有创造。

其发明的“割圆术”（圆内接正多边形面积无限逼近圆面积），为圆周率的计算奠定了基础，同时刘徽还算出圆周率的近似值——“3927/1250（3.1416）”。

他设计的“牟合方盖”的几何模型为后人寻求球体积公式打下重要基础。

在研究多面体体积过程中，刘徽运用极限方法证明了“阳马术”。

另外，《海岛算经》也是刘徽编撰的一部数学论著。

南北朝是中国古代数学的蓬勃发展时期，计有《孙子算经》、《夏侯阳算经》、《张丘建算经》等算学著作问世。

祖冲之、祖暅父子的工作在这一时期最具代表性。

他们着重进行数学思维和数学推理，在前人刘徽《九章算术注》的基础上前进了一步。

根据史料记载，其著作《缀术》（已失传）取得如下成就：①圆周率精确到小数点后第六位，得到3.1415926<π<3.1415927，并求得π的约率为22/7，密率为355/113，其中密率是分子分母在1000以内的最佳值；欧洲直到16世纪德国人鄂图（Otto）和荷兰人安托尼兹（Anthonisz）才得出同样结果。

②祖暅在刘徽工作的基础上推导出球体体积公式，并提出二立体等高处截面积相等则二体体积相等（“幂势既同则积不容异”）定理；欧洲17世纪意大利数学家卡瓦列利（Cavalieri）才提出同一定理……祖氏父子同时在天文学上也有一定贡献。

隋唐时期的主要成就在于建立中国数学教育制度，这大概主要与国子监设立算学馆及科举制度有关。

在当时的算学馆《算经十书》成为专用教材对学生讲授。

《算经十书》收集了《周髀算经》、《九章算术》、《海岛算经》等10部数学著作。

所以当时的数学教育制度对继承古代数学经典是有积极意义的。

公元600年，隋代刘焯在制订《皇极历》时，在世界上最早提出了等间距二次内插公式；唐代僧一行在其《大衍历》中将其发展为不等间距二次内插公式。

从公元11世纪到14世纪的宋、元时期，是以筹算为主要内容的中国古代数学的鼎盛时期，其表现是这一时期涌现许多杰出的数学家和数学著作。

中国古代数学以宋、元数学为最高境界。

在世界范围内宋、元数学也几乎是与 *** 数学一道居于领先集团的。

贾宪在《黄帝九章算法细草》中提出开任意高次幂的“增乘开方法”，同样的方法至1819年才由英国人霍纳发现；贾宪的二项式定理系数表与17世纪欧洲出现的“巴斯加三角”是类似的。

遗憾的是贾宪的《黄帝九章算法细草》书稿已佚。

秦九韶是南宋时期杰出的数学家。

1247年，他在《数书九章》中将“增乘开方法”加以推广，论述了高次方程的数值解法，并且例举20多个取材于实践的高次方程的解法（最高为十次方程）。

16世纪意大利人菲尔洛才提出三次方程的解法。

另外，秦九韶还对一次同余式理论进行过研究。

李冶于1248年发表《测圆海镜》，该书是首部系统论述“天元术”（一元高次方程）的著作，在数学史上具有里程碑意义。

尤其难得的是，在此书的序言中，李冶公开批判轻视科学实践活动，将数学贬为“贱技”、“玩物”等长期存在的士风谬论。

公元1261年，南宋杨辉（生卒年代不详）在《详解九章算法》中用“垛积术”求出几类高阶等差级数之和。

公元1274年他在《乘除通变本末》中还叙述了“九归捷法”，介绍了筹算乘除的各种运算法。

公元1280年，元代王恂、郭守敬等制订《授时历》时，列出了三次差的内插公式。

郭守敬还运用几何方法求出相当于现在球面三角的两个公式。

公元1303年，元代朱世杰（生卒年代不详）著《四元玉鉴》，他把“天元术”推广为“四元术”（四元高次联立方程）,并提出消元的解法，欧洲到公元1775年法国人别朱（Bezout）才提出同样的解法。

朱世杰还对各有限项级数求和问题进行了研究，在此基础上得出了高次差的内插公式，欧洲到公元1670年英国人格里高利（Gregory）和公元1676一1678年间牛顿（Newton）才提出内插法的一般公式。

14世纪中、后叶明王朝建立以后，统治者奉行以八股文为特征的科举制度，在国家科举考试中大幅度消减数学内容，于是自此中国古代数学便开始呈现全面衰退之势。

明代珠算开始普及于中国。

1592年程大位编撰的《直指算法统宗》是一部集珠算理论之大成的著作。

但是有人认为，珠算的普及是抑制建立在筹算基础之上的中国古代数学进一步发展的主要原因之一。

由于演算天文历法的需要，自16世纪末开始，来华的西方传教士便将西方一些数学知识传入中国。

数学家徐光启向意大利传教士利马窦学习西方数学知识，而且他们还合译了《几何原本》的前6卷（1607年完成）。

徐光启应用西方的逻辑推理方法论证了中国的勾股测望术，因此而撰写了《测量异同》和《勾股义》两篇著作。

邓玉函编译的《大测》〔2卷〕、《割圆八线表》〔6卷〕和罗雅谷的《测量全义》〔10卷〕是介绍西方三角学的著作。

此外在数学方面鲜有较大成就取得，中国古代数学自此便衰落了。

数学知识的原始积累

数学知识伴随着人类文明的产生而起源，并率先在几个文明古国开始了漫长的原始积累过程，人类的祖先为我们留下了珍贵的、可供研究的原始资料，最著名的古埃及象形文字纸草书和巴比伦楔形文字泥板书，较为集中地反映了古埃及数学和巴比的水平，它们被视为人类早期数学知识积累的代表。

古埃及纸草书，是用尼罗河流域沼泽地水生植物的茎皮压制、粘连成纸草卷，用天然涂料液书写而成的。

有两份纸草书直接书写着数学内容。

一份叫做“莫斯科纸草”，大约出自公元前1850年左右，它包括25个数学问题。

这份纸草书于1893年被俄国人戈兰尼采夫买得，也称之为“戈兰尼采夫纸草”，现藏莫斯科美术博物馆。

另一份叫做“莱因特纸草”，大约成书于公元前1650年左右，开头写有：“获知一切奥秘的指南”的字样，接着是作者阿默士从更早的文献中抄下来的85个数学问题。

这份纸草书于1858年被格兰人莱因特购得，后为博物馆收藏。

这两份草书是我们研究古埃及数学的重要资料，其内容丰富，记述了古埃及的记数法、整数四则运算、单位分数的独特用法、试位法、求几何图形的面积、体积问题，以及数学在生产、生活初中中的应用问题。

古巴比伦泥板书，是用截面呈三角形的利器作笔，在将干未干的胶泥板上刻写而成的，由于字体为楔形笔划，故称之为楔形文字泥板，从19世纪前期至今，相继出土了这种泥板有50万块之多。

它们分别属于公元前2100年苏美尔文化末期，公元前1790年至公元前1600年间汉莫拉比时代和公元前600年至公元300年间新巴比伦帝国及随后的波斯、塞流西得时代。

其中，大约有300至400块是数学泥板，数学泥板中又以数表居多，据信这些数学表是用来运算和解题的。

这些古老的泥板，现在散藏于世界各地许多博物馆，并且被一一编号，成为我们研究巴比伦数学最可靠的资料。

巴比伦数学从整体上讲比古埃及数学高明，古巴比伦人采用60进位制记数法，并计算出倒数表、平方表、立方表、平方根表和立方根表，其中2的平方根近似为1.414213...。

巴比伦的代数有相当水平，他们用语言文字叙述方程问题及其解法，常用特殊的“长”、“宽”、“面积”等字眼表示未知量，除求解二次、三次方程的问题之外，也有一些数论性质的问题。

巴比伦的几何似乎没有古埃及的几何那么重要，只是收罗了一些计算简单图形的面积、体积的法则，也许他们只是在解决实际问题时才搞点几何。

此外，巴比伦数学中有很明显的商业、农业和天文的应用背景。

我们可以说，在人类早期数学知识积累过程中，由于计数物件的需要，产生了自然数，随着记数法的产生和发展，逐渐形成了运算，导致算术的产生；由于计量实物的需要，产生了简单的几何，随着农业、建筑业、手工业及天文观测的发展，逐渐积累了有关这些的基本性质和相互关系的经验知识，于是几何学萌芽了；由于商业计算、工程计算、天文的需要，在算术计算技巧的基础上，逐渐积累起代数学基本知识。

但是，在这个阶段上，直到公元前6世纪，无论如何也找不到我们今天所谓的“理性的数学”，而只是一种初级的“经验的数学”。

表示一个多位数字时，采用十进位值制，各位值的数目从左到右排列，纵横相间［法则是：一纵十横，百立千僵，千、十相望，万、百相当］，并以空位表示零。

算筹为加、减、乘、除等运算建立起良好的条件。

在几何学方面《史记．夏本记》中说夏禹治水时已使用了规、矩、准、绳等作图和测量工具，并早已发现「勾三股四弦五」这个勾股定理［西方称毕氏定理］的特例。

战国时期，齐国人著的《考工记》汇总了当时手工业技术的规范，包含了一些测量的内容，并涉及到一些几何知识，例如角的概念。

战国时期的百家争鸣也促进了数学的发展，一些学派还总结和概括出与数学有关的许多抽象概念。

著名的有《墨经》中关於某些几何名词的定义和命题，例如：「圆，一中同长也」、「平，同高也」等等。

墨家还给出有穷和无穷的定义。

《庄子》记载了惠施等人的名家学说和桓团、公孙龙等辩者提出的论题，强调抽象的数学思想，例如「至大无外谓之大一，至小无内谓之小一」、「一尺之棰，日取其半，万世不竭」等。

这些许多几何概念的定义、极限思想和其他数学命题是相当可贵的数学思想，但这种重视抽象性和逻辑严密性的新思想未能得到很好的继承和发展。

此外，讲述阴阳八卦，预言吉凶的《易经》已有了组合数学的萌芽，并反映出二进制的思想。

汉唐初创时期

这一时期包括从秦汉到隋唐1000多年间的数学发展，所经历的朝代依次为秦、汉、魏、晋、南北朝、隋、唐。

秦汉是中国古代数学体系的形成时期。

为使不断丰富的数学知识系统化、理论化，数学方面的专书陆续出现。

西汉末年［公元前一世纪］编纂的天文学著作《周髀算经》在数学方面主要有两项成就：(1)提出勾股定理的特例及普遍形式；(2)测太阳高、远的陈子测日法，为后来重差术的先驱。

此外，还有较复杂的开方问题和分数运算等。

《九章算术》是一部经几代人整理、删补和修订而成的古代数学经典著作，约成书於东汉初年［公元前一世纪］。

全书采用问题集的形式编写，共收集了246个问题及其解法，分属於方田、粟米、衰分、少广、商功、均输、盈不足、方程和勾股九章。

主要内容包括分数四则和比例算法、各种面积和体积的计算、关於勾股测量的计算等。

在代数方面，《方程》章中所引入的负数概念及正负数加减法法则，在世界数学史上都是最早的记载；书中关於线性方程组的解法和现在中学讲授的方法基本相同。

就《九章算术》的特点来说，它注重应用，注重理论联系实际，形成了以筹算为中心的数学体系，对中国古算影响深远。

它的一些成就如十进位值制、今有术、盈不足术等还传到印度和 *** ，并通过这些国家传到欧洲，促进了世界数学的发展。

魏晋时期中国数学在理论上有了较大的发展。

其中赵爽和刘徽的工作被认为是中国古代数学理论体系的开端。

赵爽是中国古代对数学定理和公式进行证明的最早的数学家之一，对《周髀算经》做了详尽的注释。

刘徽注释《九章算术》，不仅对原书的方法、公式和定理进行一般的解释和推导，且在论述过程中多有创新，更撰写《海岛算经》，应用重差术解决有关测量的问题。

刘徽其中一项重要的工作是创立割圆术，为圆周率的研究工作奠定理论基础和提供了科学的算法。

南北朝时期的社会长期处於战争和分裂状态，但数学的发展依然蓬勃。

《孙子算经》、《夏侯阳算经》、《张丘建算经》就是这个时期的作品。

《孙子算经》给出「物不知数」问题，导致求解一次同余组问题；《张丘建算经》的「百鸡问题」引出三个未知数的不定方程组问题。

祖冲之、祖日桓父子的工作在这一时期最具代表性，他们在《九章算术》刘徽注的基础上，将传统数学大大向前推进了一步，成为重视数学思维和数学推理的典范。

他们同时在天文学上也有突出的贡献。

其著作《缀术》已失传，根据史料记载，他们在数学上主要有三项成就：(1)计算圆周率精确到小数点后第六位，得到3.1415926 <π< 3.1415927，并求得π的约率为22/7，密率为355/113；(2)得到祖 日桓定理［幂势既同，则积不容异］并得到球体积公式；(3)发展了二次与三次方程的解法。

唐朝在数学教育方面有长足的发展。

656年国子监设立算学馆，设有算学博士和助教，由太史令李淳风等人编纂注释《算经十书》［包括《周髀算经》、《九章算术》、《海岛算经》、《孙子算经》、《张丘建算经》、《夏侯阳算经》、《缉古算经》、《五曹算经》、《五经算术》和《缀术》］，作为算学馆学生用的课本。

对保存古代数学经典起了重要的作用。

宋元全盛时期

唐朝亡后，五代十国仍是军阀混战的继续，直到北宋王朝统一了中国，农业、手工业、商业迅速繁荣，科学技术突飞猛进。

从公元十一世纪到十四世纪［宋、元两代］，筹算数学达到极盛，是中国古代数学空前繁荣，硕果累累的全盛时期。

这一时期出现了一批著名的数学家和数学著作，列举如下：贾宪的《黄帝九章算法细草》［11世纪中叶］，刘益的《议古根源》［12世纪中叶］，秦九韶的《数书九章》［1247］，李冶的《测圆海镜》［1248］和《益古演段》［1259］，杨辉的《详解九章算法》［1261］、《日用算法》［1262］和《杨辉算法》［1274-1275］，朱世杰的《算学启蒙》［1299］和《四元玉鉴》［1303］等等。

高次方程数值解法； 天元术与四元术，即高次方程的立法与解法，是中国数学史上首次引入符号，并用符号运算来解决建立高次方程的问题；

大衍求一术，即一次同余式组的解法，现在称为中国剩余定理；

招差术和垛积术，即高次内插法和高阶等差级数求和。

另外，其他成就包括勾股形解法新的发展、解球面直角三角形的研究、纵横图［幻方］的研究、小数［十进分数］具体的应用、珠算的出现等等。

这一时期民间数学教育也有一定的发展，以及中国和 *** 国家之间的数学知识的交流也得到了发展。

西学输入时期

这一时期从十四世纪中叶明王朝建立到二十世纪清代结束共500多年。

数学除珠算外出现全面衰弱的局面，当中涉及到中算的局限、十三世纪的考试制度中已删减数学内容、明代大兴八段考试制度等复杂的问题，不少中外数学史家仍探讨当中涉及的原因。

十六世纪末，西方初等数学开始传入中国，使中国数学研究出现了一个中西融合贯通的局面。

鸦片战争后，近代高等数学开始传入中国，中国数学转入一个以学习西方数学为主的时期。

直到十九世纪末，中国的近代数学研究才真正开始。

明代最大的成就是珠算的普及，出现了许多珠算读本，及至程大位的《直指算法统宗》［1592］问世，珠算理论已成系统，标志著从筹算到珠算转变的完成。

但由於珠算流行，筹算几乎绝迹，建立在筹算基础上的古代数学也逐渐失传，数学出现长期停滞。

隋及唐初，印度数学和天文学知识曾传入中国，但影响较细。

到了十六世纪末，西方传教士开始到中国活动，和中国学者合译了许多西方数学专著。

其中第一部且有重大影响的是意大利传教士利马窦和徐光启合译的《几何原本》前6卷［1607］，其严谨的逻辑体系和演译方法深受徐光启推崇。

徐光启本人撰写的《测量异同》和《勾股义》便应用了《几何原本》的逻辑推理方法论证中国的勾股测望术。

此外，《几何原本》课本中绝大部份的名词都是首创，且沿用至今。

在输入的西方数学中仅次於几何的是三角学。

在此之前，三角学只有零星的知识，而此后获得迅速发展。

介绍西方三角学的著作有邓玉函编译的《大测》［2卷，1631］、《割圆八线表》［6卷］和罗雅谷的《测量全义》［10卷，1631］。

在徐光启主持编译的《崇祯历书》［137卷，1629-1633］中，介绍了有关圆椎曲线的数学知识。

入清以后，会通中西数学的杰出代表是梅文鼎，他坚信中国传统数学「必有精理」，对古代名著做了深入的研究，同时又能正确对待西方数学，使之在中国扎根，对清代中期数学研究的 *** 是有积极影响的。

与他同时代的数学家还有王锡阐和年希尧等人。

清康熙帝爱好科学研究，他「御定」的《数理精蕴》［53卷，1723］，是一部比较全面的初等数学书，对当时的数学研究有一定影响。

在研究传统数学时，许多数学家还有发明创造，例如有「谈天三友」之称的焦循、汪莱及李锐作出不少重要的工作。

李善兰在《垛积比类》［约1859］中得到三角自乘垛求和公式，现在称之为「李善兰恒等式」。

这些工作较宋元时期的数学进了一步。

阮元、李锐等人编写了一部天文学家和数学家传记《畴人传》46卷［1795-1810］，开数学史研究之先河。

1840年鸦战争后，闭关锁国政策被迫中止。

同文馆内添设「算学」，上海江南制造局内添设翻译馆，由此开始第二次翻译引进的 *** 。

主要译者和著作有：李善兰与英国传教士伟烈亚力合译的《几何原本》后9卷［1857］，使中国有了完整的《几何原本》中译本；《代数学》13卷［1859］；《代微积拾级》18卷［1859］。

李善兰与英国传教士艾约瑟合译《圆锥曲线说》3卷，华蘅芳与英国传教士傅兰雅合译《代数术》25卷［1872］，《微积溯源》8卷［1874］，《决疑数学》10卷［1880］等。

在这些译著中，创造了许多数学名词和术语，至今仍在应用。

1898年建立京师大学堂，同文馆并入。

1905年废除科举，建立西方式学校教育，使用的课本也与西方其他各国相仿。

近现代数学发展时期

这一时期是从20世纪初至今的一段时间，常以1949年新中国成立为标志划分为两个阶段。

中国近现代数学开始於清末民初的留学活动。

较早出国学习数学的有1903年留日的冯祖荀，1908年留美的郑之蕃，1910年留美的胡明复和赵元任，1911年留美的姜立夫，1912年留法的何鲁，1913年留日的陈建功和留比利时的熊庆来［1915年转留法］，1919年留日的苏步青等人。

他们中的多数回国后成为著名数学家和数学教育家，为中国近现代数学发展做出重要贡献。

其中胡明复1917年取得美国哈佛大学博士学位，成为第一位获得博士学位的中国数学家。

1920年姜立夫在天津南开大学创建数学系，1921年和1926年熊庆来分别在东南大学［今南京大学］和清华大学建立数学系，不久武汉大学、齐鲁大学、浙江大学、中山大学陆续设立了数学系，到1932年各地已有32所大学设立了数学系或数理系。

1930年熊庆来在清华大学首创数学研究部，开始招收研究生，陈省身、吴大任成为国内最早的数学研究生。

三十年代出国学习数学的还有江泽涵［1927］、陈省身［1934］、华罗庚［1936］、许宝騄［1936］等人，他们都成为中国现代数学发展的骨干力量。

同时外国数学家也有来华讲学的，例如英国的罗素［1920］，美国的伯克霍夫［1934］、奥斯古德［1934］、维纳［1935］，法国的阿达马［1936］等人。

1935年中国数学会成立大会在上海召开，共有33名代表出席。

但

赵爽是三国时期吴人，在中国历史上他是最早对数学定理和公式进行证明的数学家之一，其学术成就体现于对《周髀算经》的阐释。

在《勾股圆方图注》中，他还用几何方法证明了勾股定理，其实这已经体现“割补原理”的方法。

用几何方法求解二次方程也是赵爽对中国古代数学的一大贡献。

三国时期魏人刘徽则注释了《九章算术》，其著作《九章算术注》不仅对《九章算术》的方法、公式和定理进行一般的解释和推导，而且系统地阐述了中国传统数学的理论体系与数学原理，并且多有创造。

其发明的“割圆术”（圆内接正多边形面积无限逼近圆面积），为圆周率的计算奠定了基础，同时刘徽还算出圆周率的近似值——“3927/1250（3.1416）”。

他设计的“牟合方盖”的几何模型为后人寻求球体积公式打下重要基础。

在研究多面体体积过程中，刘徽运用极限方法证明了“阳马术”。

另外，《海岛算经》也是刘徽编撰的一部数学论著

祖冲之、祖暅父子的工作在这一时期最具代表性。

他们着重进行数学思维和数学推理，在前人刘徽《九章算术注》的基础上前进了一步。

根据史料记载，其著作《缀术》（已失传）取得如下成就：①圆周率精确到小数点后第六位，得到3.1415926<π<3.1415927，并求得π的约率为22/7，密率为355/113，其中密率是分子分母在1000以内的最佳值；欧洲直到16世纪德国人鄂图（Otto）和荷兰人安托尼兹（Anthonisz）才得出同样结果。

②祖暅在刘徽工作的基础上推导出球体体积公式，并提出二立体等高处截面积相等则二体体积相等（“幂势既同则积不容异”）定理；欧洲17世纪意大利数学家卡瓦列利（Cavalieri）才提出同一定理……祖氏父子同时在天文学上也有一定贡献。

从公元11世纪到14世纪的宋、元时期，是以筹算为主要内容的中国古代数学的鼎盛时期，其表现是这一时期涌现许多杰出的数学家和数学著作。

中国古代数学以宋、元数学为最高境界。

在世界范围内宋、元数学也几乎是与 *** 数学一道居于领先集团的。

贾宪在《黄帝九章算法细草》中提出开任意高次幂的“增乘开方法”，同样的方法至1819年才由英国人霍纳发现；贾宪的二项式定理系数表与17世纪欧洲出现的“巴斯加三角”是类似的。

遗憾的是贾宪的《黄帝九章算法细草》书稿已佚。

秦九韶是南宋时期杰出的数学家。

1247年，他在《数书九章》中将“增乘开方法”加以推广，论述了高次方程的数值解法，并且例举20多个取材于实践的高次方程的解法（最高为十次方程）。

16世纪意大利人菲尔洛才提出三次方程的解法。

另外，秦九韶还对一次同余式理论进行过研究。

公元1261年，南宋杨辉（生卒年代不详）在《详解九章算法》中用“垛积术”求出几类高阶等差级数之和。

公元1274年他在《乘除通变本末》中还叙述了“九归捷法”，介绍了筹算乘除的各种运算法。

公元1280年，元代王恂、郭守敬等制订公元1303年，元代朱世杰（生卒年代不详）著《四元玉鉴》，他把“天元术”推广为“四元术”（四元高次联立方程）,并提出消元的解法，欧洲到公元1775年法国人别朱（Bezout）才提出同样的解法。

朱世杰还对各有限项级数求和问题进行了研究，在此基础上得出了高次差的内插公式，欧洲到公元1670年英国人格里高利（Gregory）和公元1676一1678年间牛顿（Newton）才提出内插法的一般公式。

明代珠算开始普及于中国。

1592年程大位编撰的《直指算法统宗》是一部集珠算理论之大成的著作。

但是有人认为，珠算的普及是抑制建立在筹算基础之上的中国古代数学进一步发展的主要原因之一。

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